「HNOI2008」GT考试

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继续学数数喽QwQ…

传送门

洛谷P3193

BZOJ1009

题解

很显然这是一道优化DP数数题 ，可惜我又不会QwQ。

（此处省略0x3F3F3F3F字的思考过程）

令$f[i][j]​$表示长串匹配到第$i​$位，短串匹配到第$j​$位的合法方案数；

$g[k][j]$表示短串匹配到第$j$位时，长串再加上一个字符使得最多能匹配$k$位的方案数。

那么就有

最后的答案就是

观察一下DP转移方程，发现$g$数组是固定的，可以通过看毛片KMP或者暴力预处理出来（抱歉我这里真的没有毛片看，但是据说隔壁巨佬知道哪里有）。

再狠狠瞅几眼转移方程，艾玛！这不是一个矩阵乘法的式子吗！

令矩阵$F[i]$的第一行为$f[i][j]​$，那么就有

所以

且又知道$f[0][0]=1$、最后答案为$F[n]​$第一行元素之和。

所以这题就解完了。

代码

本蒟蒻因为矩阵重载乘法运算符是忘了return调了半天QwQ

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#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,K,nxt[25],ans;char S[25];
struct Matrix                        //矩阵类
{
	int A[25][25];
	Matrix(){memset(A,0,sizeof(A));}
	Matrix operator * (const Matrix& b)   //矩阵乘法
	{
		Matrix c;
		for(int i=0;i<m;i++)
		{
			for(int j=0;j<m;j++)
			{
				for(int k=0;k<m;k++)
				{
					c.A[i][j]+=A[i][k]*b.A[k][j];
					c.A[i][j]%=K;              //记得mod
				}
			}
		}
		return c;
	}
}G,F;
inline void KMP()                    //KMP构造矩阵G
{
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		int j=nxt[i-1];
		while(j&&S[i]!=S[j+1]) j=nxt[j];
		if(S[i]==S[j+1]) nxt[i]=j+1;
	}
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j='0';j<='9';j++)
		{
			int k=i;
			while(k&&S[k+1]!=j) k=nxt[k];
			if(S[k+1]==j) k++;
			if(k<m) G.A[i][k]++;
		}
	}
}
Matrix QP(const Matrix& a,int b)             //矩阵快速幂
{
	Matrix ret=a,w=a;b--;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*w;
		w=w*w;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&K,S+1);
	KMP();F.A[0][0]=1;F=F*QP(G,n);
	for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+F.A[0][i])%K;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}